การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

โพรเจกไทล์ภาษาอังกฤษ หมายถึง วัตถุที่ขว้างหรือยิงออกไป โดยจะสังเกตได้ว่ามีแนวการ เคลื่อนที่เป็นวิถีโค้ง โดยในบทเรียนจะถือว่าแรงต้านของอากาศน้อยมากจนไม่ต้องนำมาคิด การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์เป็นการเคลื่อนที่ใน 2 มิติ คือเคลื่อนที่ในแนวระดับและแนวดิ่ง พร้อมกัน ในแนวดิ่งเป็นการเคลื่อนที่ที่มีความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วงโลกในขณะที่แนวราบ ไม่มีความเร่ง ดังรูป

การเคลื่อนที่ในแนวระดับ

พิจารณาการเคลื่อนที่ของวัตถุในอากาศ ขณะที่วัตถุลอยในอากาศ มีแรงกระทำต่อวัตถุเพียงแรงเดียว คือ

(ไม่คิดแรงต้านอากาศ) ในทิศเข้าสู่ศูนย์กลางของโลก หรือในแนวดิ่ง ดังนั้น ในแนวระดับจึงไม่มีแรงกระทำต่อวัตถุ หรือแรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุในแนวระดับเป็นศูนย์

จากกฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน เราพบว่า เมื่อไม่มีแรงลัพธ์มากระทำต่อวัตถุ วัตถุจะรักษาสภาพการเคลื่อนที่ให้คงที่ ผลคือ วัตถุเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่

ดังนั้น การเคลื่อนที่ในแนวระดับของการเคลื่อนที่แบบโปรเจกไทล์ สามารถหาการกระจัดในแนวระดับได้ตามสมการ

เมื่อ Sx = การกระจัดในแนวระดับ ( m )ux = ความเร็วในแนวระดับ (m/s)
t = ช่วงเวลาของการเคลื่อนที (s)

ภาพการเคลื่อนที่ในแนวระดับ

การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งเมื่อพิจารณาการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง พบว่า วัตถุมีแรงกระทำในแนวดิ่ง คือ แรงโน้มถ่วงของโลก

วัตถุเคลื่อนที่ในแนวดิ่งด้วยความเร่ง ay ซึ่งมีค่าเท่ากับ

วิดีโอแสดงตัวอย่างของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

แบบฝึกหัดพร้อมคลิปเฉลยวิธีทำ

1.ก้อน หินถูกขว้างออกจากหน้าผาในแนวระดับ ด้วยความเร็วต้น 10 เมตร/วินาที ก้อนหินจะตกถึงพื้น ในเวลา 8 วินาที ก้อนหินจะตกห่างจากจุดขว้างในแนวระดับ เป็นระยะเท่าใด

2.ลูกบอลลูกหนึ่ง กลิ้งตกลงมาจากโต๊ะพื้นราบ ซึ่งสูง 5 เมตร ถ้าลูกบอลกระทบพื้นตรงจุดที่ห่างจากขอบโต๊ะตามแนวระดับ 4 เมตร จงหาความเร็วของลูกบอลขณะหลุดจากขอบโต๊ะ มีค่าเท่าไร

3.นักรักบี้คนหนึ่ง เตะลูกรักบี้ขึ้นด้วยความเร็ว 20 เมตร/วินาที ทำมุม 60 องศา กับแนวระดับ เขาจะต้องวิ่งด้วยความเร็วอย่างน้อยที่สุดเท่าไร จึงจะไปรับลูกรักบี้ที่เขาเตะออกไปเอง ได้พอดี ก่อนตกถึงพื้นดิน

การเคลื่อนที่แบบวงกลม

วัตถุที่กำลังเคลื่อนที่เป็นวงกลม จะต้องมีแรงกระทำต่อวัตถุในทิศเข้าหาศูนย์กลางของวงกลม เรียกว่า แรงสู่ศูนย์กลาง(centripetal force) แรงนี้จะทำให้วัตถุเปลี่ยนทิศของความเร็วซึ่งอยู่ในแนวเส้นสัมผัสของวงกลมทำให้วัตถุวิ่งเป็นวงกลมอยู่ได้ หากไม่มีแรงสู่ศูนย์กลางกระทำต่อวัตถุ วัตถุจะไม่เคลื่อนที่เป็นวงกลมแต่จะวิ่งไปในแนวเส้นสัมผัสแรงที่ทำหน้าที่เป็นแรงสู่ศูนย์กลางอาจเป็นแรงเสียดทานที่กระทำต่อวัตถุเมื่อวัตถุสัมผัสกับพื้น หรือเป็นแรงที่พื้นกระทำต่อวัตถุซึ่งแยกแรงมาอยู่ในแนวเข้าสู่ศูนย์กลางได้ กรณีผูกด้วยเชือกแล้วแกว่งเป็นวงกลมในแนวระดับ แรงดึงของเชือกก็จะทำหน้าที่เป็นแรงสู่ศูนย์กลาง เป็นต้น

การเคลื่อนที่แบบวงกลมมีลักษณะเฉพาะ โดยมีการเคลื่อนที่เป็นรอบ จำนวนรอบที่วัตถุเคลื่อนที่ได้ใน 1 หน่วยเวลา เรียกว่า ความถี่ (frequency) ใช้สัญลักษณ์ f มีหน่วยเป็นรอบต่อวินาทีหรือ เฮิรตซ์ (Hz) และถ้าวัตถุกำลังเคลื่อนที่เป็นวงกลมที่มีรัศมี r ด้วยอัตราสม่ำเสมอ อัตราเร็วของวัตถุ v จะหาได้จากสมการ

ขณะวัตถุกำลังเคลื่อนที่เป็นวงกลม แรงที่ทำหน้าที่เป็นแรงสู่ศูนย์กลาง (F_c) จะต้องมีขนาดเท่าใดนั้น จะสัมพันธ์กับมวลของวัตถุ (m) อัตราเร็วของวัตถุ (v) และรัศมีการเคลื่อนที่ (r) ตามสมการ

เครื่องเล่น Tagada Disco ของสยามพาร์คซิตี้ ใช้การหมุนของจานหมุนขนาดใหญ่ให้ผู้เล่นที่นั่งอยู่ขอบจานเคลื่อนที่เป็นวงกลม ระนาบของการหมุนเอียงเล็กน้อยและมีการเขย่าด้วยลูกสูบลมเพื่อให้รู้สึกตื่นเต้น จานหมุนจะมีราวเหล็กและพนักพิงอยู่โดยรอบ ขณะผู้เล่นเคลื่อนที่เป็นวงกลมไปพร้อมจานหมุน ก็จะถูกเหวี่ยงให้อัดตัวเข้ากับพนักพิง เกิดแรงที่พนักพิงดันผู้เล่นในทิศเข้าหาศูนย์กลาง และแรงเสียดทานที่เบาะที่นั่งกระทำต่อผู้เล่นก็มีทิศเข้าหาศูนย์กลางเช่นกัน แรงทั้งสองจึงทำหน้าที่เป็นแรงสู่ศูนย์กลาง

วิดีโอแสดงตัวอย่างของการเคลื่อนที่แบบวงกลม

แบบฝึกหัดพร้อมเฉลยวิธีทำ

1.วัตถุมวล m1 และ m2 ผูกกับเชือกโดยมี m1 ผูกที่จุดกึ่งกลางเชือก m2 ผูกที่ปลายเชือก โดยปลายอีกข้างหนึ่งยึดอยู่ตรงใจกลางโต๊ะ ถ้าวัตถุทั้งสองเคลื่อนเป็นวงกลมอยู่บนโต๊ะราบลื่น โดยเชือกตึงเป็นเส้นตรงเดียวกัน และปลายเชือกที่ยึดอยู่ในกลางโต๊ะเป็นศูนย์กลางของวงกลม ถ้า m1 : m2 = 4 : 3 จงเปรียบเทียบแรงตึงในเชือกที่ผูก m1 และ m2

2.วัตถุ 0.6 กิโลกรัม ผูกด้วยเชือกยาว 1 เมตร แล้วแกว่งเป็นวงกลมในระนาบระดับ ด้วยรัศมี 60 เซนติเมตร จงหาความตึงในเส้นเชือกและอัตราเร็วของวัตถุ

3.มวล m ผูกด้วยเชือกยาว l เคลื่อนที่เป็นวงกลมด้วยอัตราเร็ว v คงที่ โดยเชือกเคลื่อนที่เป็นรูปกรวยและทำมุม q กับแนวดิ่ง จงหาว่าเวลาที่วัตถุเคลื่อนที่ได้ 1 รอบ เป็น

การเคลื่อนที่แบบซิมเปิลฮาร์มอนิก

การเคลื่อนที่แบบซิมเปิลฮาร์มอนิกหรือการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย (simple harmonic motion) เป็นการเคลื่อนที่ของวัตถุกลับไปมาซ้ำทางเดิมผ่านตำแหน่งสมดุล โดยมีขนาดของการกระจัดสูงสุดคงตัว เรียกว่า แอมพลิจูด ช่วงเวลาที่วัตถุเคลื่อนที่ครบ 1 รอบ เรียกว่า คาบ ( T ) และจำนวนรอบที่วัตถุเคลื่อนที่ได้ใน 1 วินาที เรียกว่า ความถี่ f
เมื่อผูกวัตถุเข้ากับยางยืดหรือปลายสปริง ห้อยในแนวดิ่ง ดึงวัตถุให้ยางหรือสปริงยืดออกเล็กน้อย แล้วปล่อย วัตถุก็จะสั่นขึ้นลง โดยการเคลื่อนที่ไปกลับทุกครั้งผ่านตำแหน่งสมดุล ที่จุดบนสุดและต่ำสุดซึ่งเป็นตำแหน่งที่มีการกระจัดมากที่สุด วัตถุจะมีอัตราเร็วเป็นศูนย์ และขณะวัตถุเคลื่อนผ่านตำแหน่งสมดุลซึ่งมีการกระจัดเป็นศูนย์ วัตถุจะมีอัตราเร็วมากที่สุด ความถี่ในการสั่นของวัตถุจะขึ้นกับมวลวัตถุที่ติดอยู่กับปลายยางหรือสปริง และขึ้นกับค่าคงตัวสปริง k (spring constant) ซึ่งเป็นค่าของแรงที่ทำให้สปริงยืดหรือหดได้ 1 หน่วยความยาว โดย ความถี่ในการสั่นของวัตถุที่ติดปลายสปริงหาได้จากความสัมพันธ์ ดังนี้

ส่วนคาบของการสั่น หรือเวลาที่ใช้ในการสั่นครบ 1 รอบจะหาได้จากความสัมพันธ์ต่อไปนี้

การเคลื่อนที่ของวัตถุที่เป็นการเคลื่อนที่แบบซิมเปิลฮาร์มอนิกที่ชัดเจนอีกลักษณะหนึ่งคือ การแกว่งของลูกตุ้มอย่างง่าย (simple pendulum) ซึ่งประกอบด้วยวัตถุมวล m แขวนห้อยที่ปลายเชือกยาว lโดยธรรมชาติจะแขวนห้อยในแนวดิ่งซึ่งเป็นตำแหน่งสมดุล เมื่อดึงวัตถุให้เชือกเอียงไปทำมุมกับแนวดิ่งเล็กน้อยแล้วปล่อย วัตถุจะแกว่งกลับไป มา ซ้ำทางเดิมผ่านตำแหน่งสมดุล ลูกตุ้มนาฬิกา ชิงช้า จะเป็นการแกว่งแบบเดียวกับลูกตุ้มอย่างง่าย

ความถี่และคาบในการแกว่งของลูกตุ้มจะสัมพันธ์กับความยาว l ที่วัดจากจุดแขวนไปจนถึงศูนย์กลางมวลของวัตถุ โดยไม่ขึ้นกับมวลที่แขวน

ความถี่ในการแกว่งหาได้จากความสัมพันธ์ต่อไปนี้

และคาบของการแกว่ง หาได้จากความสัมพันธ์ต่อไปนี้

เครื่องเล่นในสยามพาร์คซิตี้ที่มีการเคลื่อนที่เป็นแบบซิมเปิลฮาร์มอนิกหรือเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายนี้ คือ Twin Dragon

ซึ่งตัววัตถุหรือที่นั่งทำเป็นรูปเรือมังกรสองหัว แขวนไว้กับจุดแขวนด้วยแขนโลหะยาว ประมาณ 15 เมตร ขณะแกว่งตัวเรือจะมีอัตราเร็วมากที่สุดขณะผ่านตำแหน่งสมดุลซึ่งอยู่ตรงตำแหน่งต่ำสุดและจะมีอัตราเร็วเป็นศูนย์ เมื่อแกว่งไปถึงตำแหน่งสูงสุด

วิดีโอแสดงตัวอย่างของการเคลื่อนที่แบบซิมเปิลฮาร์มอนิก